Álgebra linear Exemplos

$4 x + 2 = 5 y - 3$ , $y = 3 x - 1$

Etapa 1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$4 x = 5 y - 3 - 2, y = 3 x - 1$

Etapa 2

Subtraia $5 y$ dos dois lados da equação.

$4 x - 5 y = - 3 - 2, y = 3 x - 1$

Etapa 3

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$4 x - 5 y = - 3 - 2, y - 3 x = - 1$

Etapa 4

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & - 3 - 2 \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 5

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 5.1

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & - 5 \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 5.2

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{4}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

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Etapa 5.2.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{4}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 5}{4} & \frac{- 5}{4} \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 5.3

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 5.3.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 (- \frac{5}{4}) & - 1 + 3 (- \frac{5}{4}) \end{array}]$

Etapa 5.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & - \frac{11}{4} & - \frac{19}{4} \end{array}]$

Etapa 5.4

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{4}{11}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 5.4.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{4}{11}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - \frac{4}{11} \cdot 0 & - \frac{4}{11} (- \frac{11}{4}) & - \frac{4}{11} (- \frac{19}{4}) \end{array}]$

Etapa 5.4.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Etapa 5.5

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 5.5.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{4} \cdot 0 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{19}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Etapa 5.5.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{10}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Etapa 6

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$x = \frac{10}{11}$

$y = \frac{19}{11}$

Etapa 7

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(\frac{10}{11}, \frac{19}{11})$

Etapa 8

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{10}{11} \\ \frac{19}{11} \end{array}]$